中国古代数学特点
我国古代数学具有的特点是:实用性;算法化;模型化;数形结合、直觉把握;寓理于算.中国数学的特点如下：1．中国数学最基本的特点是具有鲜明的社会性。
通观中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系。
从《九章算术》开始，中国算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成，其内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩；2．中国数学教育与研究始终置于政府的控制之下，以适应统治阶级的需要；3．中国数学家的数学论著深受历史上各种社会思潮、哲学流派以至宗教神学的影响，具有形形色色的社会痕迹。
4．中国数学是以几何方法和代数方法的相互渗透表现为形数结合的，是用算筹来计算的．并采用了十进位制。
同时，用一整套”程序语言”来揭示计算方法，而演算程序简捷而巧妙。
5．中国数学理论表现为运算过程之中，即“寓理于算”。
中国数学家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，作为研究众多数学问题的基础。
试述中国古代数学的特点
3 中国古代数学思想特点（1）. （实用性）《九章算术》收集的每个问题都是与生产实践有联系的应用题，以解决问题为目的.从《九章算术》开始，中国古典数学著作的内容，几乎都与当时社会生活的实际需要有着密切的联系.这不仅表现在中国的算学经典基本上都遵从问题集解的体例编纂而成，而且它所涉及的内容反映了当时社会政治、经济、军事、文化等方面的某些实际情况和需要，以致史学家们常常把古代数学典籍作为研究中国古代社会经济生活、典章制度（特别是度量衡制度），以及工程技术（例如土木建筑、地图测绘）等方面的珍贵史料.而明代中期以后兴起的珠算著作，所论则更是直接应用于商业等方面的计算技术.中国古代数学典籍具有浓厚的应用数学色彩，在中国古代数学发展的漫长历史中，应用始终是数学的主题，而且中国古代数学的应用领域十分广泛，著名的十大算经清楚地表明了这一点，同时也表明“实用性”又是中国古代数学合理性的衡量标准.这与古代希腊数学追求纯粹“理性”形成强烈的对照.其实，中国古代数学一开始就同天文历法结下了不解之缘.中算史上许多具有世界意义的杰出成就就是来自历法推算的.例如，举世闻名的“大衍求一术”（一次同余式组解法）产于历法上元积年的推算，由于推算日、月、五星行度的需要中算家创立了“招差术”（高次内插法）；而由于调整历法数据的要求，历算家发展了分数近似法.所以，实用性是中国传统数学的特点之一.（2）.（算法程序化）中国传统数学的实用性，决定了他以解决实际问题和提高计算技术为其主要目标.不管是解决问题的方式还是具体的算法，中国数学都具有程序性的特点.中国古代的计算工具是算筹，筹算是以算筹为计算工具来记数，列式和进行各种演算的方法.有人曾经将中国传统数学与今天的计算技术对比，认为算筹相应于电子计算机可以看作“硬件”，那么中国古代的“算术”可以比做电子计算机计算的程序设计，是一种软件的思想.这种看法是很有道理的.中国的筹算不用运算符号，无须保留运算的中间过程，只要求通过筹式的逐步变换而最终获得问题的解答.因此，中国古代数学著作中的“术”，都是用一套一套的“程序语言”所描写的程序化算法.各种不同的筹法都有其基本的变换法则和固定的演算程序.中算家善于运用演算的对称性、循环性等特点，将演算程序设计得十分简捷而巧妙.如果说古希腊的数学家以发现数学的定理为目标，那么中算家则以创造精致的算法为已任.这种设计等式、算法之风气在中算史上长盛不衰，清代李锐所设计的“调日法术”和“求强弱术”等都可以说是我国古代传统的遗风. 古代数学大体可以分为两种不同的类型：一种是长于逻辑推理，一种是发展计算方法.这也大致代表了西方数学和东方数学的不同特色.虽然以算为主的某些特点也为东方的古代印度数学和中世纪的阿拉伯数学所具有，但是，中国传统数学在这方面更具有典型性.中算对于算具的依赖性和形成一整套程序化的特点尤为突出.例如，印度和阿拉伯在历史上虽然也使用过土盘等算具，但都是辅助性的，主要还是使用笔算，与中国长期使用的算筹和珠算的情形大不相同，自然也没有形成像中国这样一贯的与“硬件”相对应的整套“软件”.（3）.（模型化）“数学模型”是针对或参照某种事物系统的特征或数量关系，采用形式话数学语言，概括的近似地表达出来的一种数学结构.古代的数学模型当然没有这样严格，但如果不要求“形式化的数学语言”，对“数学结构”也作简单化的解释，则仍然可以应用这个定义.按此定义，数学模型与现实世界的事物有着不可分割的关系，与之有关的现实事物叫做现实原形，是为解释原型的问题才建立应用数学模型的.《九章算术》中大多数问题都具有一般性解法，是一类问题的模型，同类问题可以按同种方法解出.其实，以问题为中心、以算法为基础，主要依靠归纳思维建立数学模型，强调基本法则及其推广，是中国传统数学思想的精髓之一.中国传统数学的实用性，要求数学研究的结果能对各种实际问题进行分类，对每类问题给出统一的解法；以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式，倾向于建立基本问题的结构与解题模式，一般问题则被化归、分解为基本问题解决.由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统，对一般原理、法则的叙述一方面是借助文辞，一方面是通过具体问题的解题过程加以演示，使具体问题成为相应的数学模型.这种模型虽然和现代的数学模型有一定的区别，但二者在本质上是一样的.（4）.（寓理于算）由于中国传统数学注重解决实际问题，而且因中国人综合、归纳思维的决定，所以中国传统数学不关心数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次上而无理论建树.其实中国数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上，如代数中的“率”的理论，平面几何中的“出入相补”原理，立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”（或称刘祖原理，即卡瓦列利原理）等等. 中国古代数学的特点虽然在一定的程度上促进了其自身的发展，但正是因为这其中的某些特点，中国古代数学走向了低谷.4 中国古代数学由兴转衰的原因分析（1）．独尊儒术，蔑视逻辑.汉武帝时，“罢黜百家，独尊儒术”使得当时注重形式逻辑的墨子思想未能得到继承和发展.儒家思想讲究简约，而忽视了逻辑思维的过程.这一点从中国古代的典籍中能找到最准确的说明.《周髀算经》中虽然给出了勾股定理，但却没给出证明.《九章算术》同样只在给出题目的同时，给出一个结果和计算的程式，对其中的逻辑思维却没有去说明.中国古代数学这种只注重计算形式（即古代数学家所谓的“术”）与过程，不注重逻辑思维的做法，在很长一段时间里禁锢了中国古代数学发展.这种情况的出现当然也有其原因，中国古代传统数学主要是在算筹的基础上发展起来的，后来发展到以算盘为工具的计算时代，但是这些工具的使用在另一方面为中国人提供了一种程式化的求解方法，从而忽视了其中的逻辑思维过程.此外，中国传统数学讲究“寓理于算”.即使高度发达的宋元数学也是如此.数学书是由一系列的数学问题组成的.你也可以称它们为“习题解集”.数学理论以‘术”的形式出现.早期的“术”只有一个过程，后人就纷纷为它们作注，而这些注释也很简约.实际上就是举例“说明”，至于说明了什么，条件变一下怎么办，就要读者自已去总结了，从来不会给你一套系统的理论.这是一种相对原始的做法.但随着数学的发展，这种做法的局限性就表现出来了，它极不利于知识的总结.如果只有很少一点数学知识，那么，问题还不严重，但随着数学知识的增长，每个知识点都用一个题目来包装，而不把它们总结出来就难以从整体上去把握这些知识.这无论对学习数学还是研究，发展数学都是不利的.（2）． 崇尚玄学，迷信数术，歪曲数学思想.魏晋时期，儒学虽然受到一定的冲击，但其统治地位并未受到动摇.老庄学说和儒家学说相反相成便形成了玄学.玄学原本探究的是有关人生的哲学，但后来与数学混在了一起.古人曾就常常以玄术来解释数学问题，使得数学概念和方法遭到歪曲.张衡是我国著名科学家.当时他虽然已经知道圆周率“周一径三”不准确，但由于他始终相信“周一径三”来源于“参天两地”的说法，一直没深入探究，因而未能将圆周率推算到更精确的地步，这不能不说是一大遗憾.当玄术和数术充塞数学时，数学已经明显存有落后的隐患.（3）． 故步自封，墨守成规，拒绝数学符号.中国古代数学是以汉语描述的，历来不重视汉字以外的数学符号，给逻辑思维带来很大的困难，使我国长期不能形成演绎推理的传统，严重影响了我国数学的发展.从明朝开始，中国就走上了闭关锁国的道路.这种行为与小农思想相适应，早在秦代就已经出现端倪，建一条长城将自己围起来，对外面的东西不闻不问.相比之下，西方在度过了中世纪的黑暗时期后，进入了文艺复兴时期.欧洲的扩张、航海技术开阔了西方人的眼界，同时也大大推动了数学的发展.在18世纪的改革和动荡中，新出现的资产阶级推翻了英、法的君主政治.封建的政治、社会和经济思想被经典的自由主义哲学所取代，这种哲学促进了19世纪的工业革命.社会生产力的提高成了西方数学发展的源源不断的动力.最终，近代的数学在西方被建立起来，而曾是数学大国之一的中国，在其中却无所作为. （4）. 此外，中国长期处于封建社会，迟迟未能进入资本主义阶段，也是导致中国古代数学发展停顿的直接原因.从整体上看，数学是与所处的社会生产力相适应的.中国社会长期处于封闭的小农经济环境，生产力低下，不仅没有工业，商业也不发达.整个社会对数学没有太高的要求， 自然研究数学的人也就少了. 恩格斯说，天文学和力学是推动数学发展的动力，而在当时的中国这种动力已趋近枯竭.
一篇500字读中国古代数学史有感
人类在现实的物质世界裏，对物体形态的体验，逐渐发展出诸如图形的形状、大小（度量）与图形之间的相互关系等概念，这些可说都是几何学的源头。
无疑地，古代的文明民族，多多少少都曾经创造各具特色的几何学。
因此，几何学源自古埃及尼罗河泛滥丈量土地之说，根本是个经不起挑战的神话。
事实上，即以古中国为例，远在新石器农业时代（约4000～3500B.C.），就已有了长方形、正方形和圆形的房屋基地（见於西安半坡遗址），这是对「形状」的一种了解和掌握。
而更进一步，我们从周陶和汉砖上也发现很多几何图案，充分说明我们的祖先对几何图形之间的相互关系之认识；至於对图形面积、体积（大小度量）公式的发展，也可远溯到春秋战国时代，这乃是因为私有土地徵税需要丈量面积，而且有关土木建筑和容器的计算，也牵涉到体积的概念。
不过，虽然几个古文明如中国、巴比伦和埃及，对面积、体积公式与其理论都有一定程度的贡献，也各有颇为丰富的几何图案留传下来，可是对「形」的本质，乃至形与形之间相互关系的重视，却仅有古希腊一家，别无分号。
这些成果都总结在欧几里得的经典作品「几何原本」一书中。
在该书内，欧几里得把当时（约西元前三世纪）古希腊已知（包括学自古埃及和巴比伦人的）的几何知识加以整理，并赋与抽象化的概念，然后以十个公理为基础，建立了一套逻辑论理的几何体系。
几何原本在世界文明史上是独一无二的，如果以它的形式和内涵作为标准的几何知识系统，那麼，古中国的几何学显然是不够标准的。
但是，虽然有此一缺憾和不足，古中国的数学家却仍能独辟蹊径，从面积、体积和测量的一些零碎结果中，总结一些深刻的原理，然后将面积、体积公式加以贯穿，构成一套颇能自圆其说的几何理论。
底下，我们就先从面积、体积公式谈起。
古代中国的面积、体积公式 中国古代的面积、体积公式主要记载在东汉初成书的「九章算术」（见图一）内，后世数学家研究面积和体积均以此书为圭臬。
根据研究，这本书是周秦以迄东汉初数学知识的总结，因此，所记载的面积、体积公式颇能反映当时的社会需要。
这些公式计有： 一、面积部分（都记载在该书卷一「方田章」内）。
(一)长方形（直田）：「广从步数相乘（得积步）」。
(二)等腰三角形（圭田）：「半广以乘正从」。
(三)梯形（邪田）：「并两邪而半之，以乘正从」。
(四)一种称做箕田的四边形：「并踵舌而半之，以乘正从」。
(五)圆形（圆田）：「半周半径相乘」。
(六)球帽形（宛田）：「以径乘周，四而一」。
(七)弓形（弧田）：「以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一」。
(八)环形（环田）：「并中外周而半之，以径乘之」（见图二）。
二、体积部分（除球体积公式外，其余均记载於该书卷五「商功章」内）。
(一)城、垣、堤、沟、堑、（穿）渠等各种按不同用途而称呼的楔的平截体（事实上，是以梯形为底的一种角柱体）：「并上下广而半之，以高（若深）乘之，又以袤乘之，即积尺」。
(二)长方体（仓）：「广、袤、高相乘」；另一种长方体称做方堡壔，是以正方形为底的角柱体：「方自乘，以高乘之，得积尺」。
(三)圆柱体（古称圆堡壔或圆囷）：「周自相乘，以高乘之，十二而一」。
(四)截顶方锥（方亭、方台）：「上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一」。
(五)截顶圆锥（圆台、圆亭）：「上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一」。
(六)方锥（即以正方形为底的角锥，我国古代即称方锥）：「下方自乘，以高乘之，三而一」。
(七)圆锥（我国古代亦称圆锥、委粟、委菽或委米等）：「下周自乘，以高乘之，三十六而一」。
(八)以直角三角形为底的角柱体（古称堑堵）：「广袤相乘，以高乘之，二而一」。
(九)一种以长方形为底，且一条侧稜线垂直於底面的（斜）角锥体（古称阳马）：「广袤相乘，以高乘之，三而一」。
(十)一种四面体，具有一个（底）面为直角三角形，并有一条侧稜线垂直於此底面，古称臑：「广袤相乘，以高乘之，六而一」。
(十一)一种楔形体具有一个等腰梯形的底面，并有一个侧面垂直此底，古称羡除：「并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一」。
(十二)一个具有长方形底面的楔形体，古称刍甍：「倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一」。
(十三)以长方形为底的截顶角锥体，古称刍童、曲池、盘池及冥谷：「倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并以高（若深）乘之，皆六而一」。
(十四)球（古称丸）的体积公式并未明白地列出，但据「九章算术」卷四最后一题开立图术说：「置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径」。
可以推知该书所使用的球体积公式，应该是球直径的三次方，乘以九，再除以十六而得（见图三）。
「九章算术」以后，有关面积、体积公式的数目便没有实质的增加。
事实上，魏晋南北朝时代的数学著作如「孙子算经」、「五曹算经」（见图四）、「夏侯阳算经」、「张邱建算经」，隋唐时代的算书如「缉古算经」，宋金元三代的「数学九章」、「田亩比类乘除捷法」、「续古摘奇算法」及「算学启蒙」（见图五）等书中，虽都列有面积公式，但大都重覆「九章算术」的题材，了无新意。
宋金元时代的数学家如秦九韶（南宋）、李治（金）及朱世杰（元）等人，虽在代数学上创造了数学史上极辉煌且先进的成就，可惜，在面积知识上也没有什麼进展，值得一提的，只有秦九韶在他的著作「数学九章」中所给出的一般三角形面积公式：设三角形三边长为a、b、c，则 【浏览原件】。
很容易证明此一公式与古希腊的Heron公式 三角形面积＝〔s(s-a)(s-b)(s-c)〕1\\\/2， 其中s=1\\\/2(a+b+c)，是等价的，但秦氏怎麼得到的，并没有清楚地告诉我们。
此外，还有一个四边形面积公式，则是结合「九章算术」中的三角形面积公式与上述公式所导出的，不过，也没有赋与证明。
这个公式可用现代符号叙述如下：已知四边形ABCD四边长分别为a、b、c、d，AE⊥CD，且AE=h（见图六），则 AC2=〔c-(d2-h2)1\\\/2〕2+h2 四边形ABCD面积 【浏览原件】 至於在体积公式方面，则「九章算术」之后值得介绍的也只有两个。
其一乃是唐代数学家王孝通在他的著作「缉古算经」所给出的一个堤坝的体积公式（见图七）；另一个则是秦九韶在「数学九章」所给的一个楔形的截体之体积公式（见图八），不过也一样缺乏创意。
本文标题所谓的「古代」，作者从权断在明末，理由是自从1607年徐光启与利玛窦合译「几何原本」前六卷以后，中国数学家在著述体例上，或多或少都受到一点影响。
所以，在此实有必要提及1607年以前，最后一本延续中算传统的著名数学作品「算法统宗」（程大位撰）。
这部书的体积公式都是前代所有，不足为奇，而在面积公式方面，虽然所处理的图形略有增加，比方前所未见的眉田、方田减圭形、圭田减圭形、牛角减弧矢形、斜田并圭形、二句股并形、二圭并弧矢形及方减圭弧形（见图九）等等，不过这些都可以「截作几段凑〔成已知面积的图〕形」（程大位语，中括号〔〕内文字系作者所加），在面积知识的拓广上并无贡献。
甚至有些可以运用精确公式处理的，比方等边三角形的面积，竟然为配合珠算盘的计算而给出近似公式（见算法统宗卷三方田章）。
由以上的叙述，我们可以发现中国古代的面积、体积知识有如下的几点特色： 一、「九章算术」的公式一般化程度不够，如圭田、邪田等等，仅是比较特殊的情形，而实用需要应能提供一般的三角形、梯形题材，何以不列
莫非「九章算术」真的仅以官僚算术手册自足
二、保有丰富的实用面貌，如各图形名称，且未将术语和概念抽象化，所以分类不够精确。
三、对曲线形的处理能力不足，不过都能给出近似公式，如球帽形、弓形及球体、圆柱体、圆锥体等，充分反映了实用的特色。
四、题材受「九章算术」囿限，后世数学家如魏晋的刘徽、南北朝的祖冲之，於几何理论虽有卓识与创发，但始终未能实质地多处理一些不同类形的图形。
诚如数学史学者华格纳（D.B.Wagner）所说的：「……在此我们可以看到九章算术崇高威望的双重影响：它提供（创作所需要的）一种挑战和灵感；但经常也是一件狭窄的外套，局限了数学家对某些特异问题的兴趣。
」 古代中国的几何学理论 「九章算术」的著述体例中只有问题、答案及解法，而对其解法所依据的原理并没有进一步地说明，此一缺憾与不足是由刘徽加以弥补的。
刘徽是魏晋时人，生平事迹均不详。
史家推断他可能是从魏陈留王景元四年（西元263年）开始注解「九章算术」。
其注解动机如他自己所说（见刘徽九章算术注原序）：「事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。
又所析理以辞，解体用图，庶亦约而成周，通而不黩，览之者思过半矣。
」似乎是与东汉古文学派学风——通理明究——遥相呼应；事实上，诚如历史学者逯耀东所认定的古文派学者对经传「通理明究」，就是树立有系统的解释经典之体系，而这对魏晋时期的经典解释也有直接的影响。
因此，刘徽能将「九章算术」的几何知识赋与一个体系，一方面固足以说明他对某些几何学本质的卓越体认，另一方面，或许也可视为整个文化风潮的产物。
刘徽体系中的主要骨架是出入相补原理。
所谓出入相补，就是将几何图形从一处移至他处，而保持面积或体积不变的一种几何变换。
在一开始注解面积公式时，刘徽应用了形式上比较简单的「以盈补虚」，比方他在证明圭田面积为「半广以乘正从」时，曾说：「半广者，以盈补虚为直田也；亦可半正从以乘广」（见图十及图十一(l)），至於对邪田面积为「并两邪而半之，以乘正从。
」，则说：「并而半之者，以盈补虚也。
」（见图十一(2)）而在「证明」勾股定理（或毕氏定理）：「勾股各自乘，并而开方除之，即弦。
」时，刘徽注：「勾自乘为朱方，股自乘为青方。
令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。
」也足以说明他应用了出入相补原理来「证明」勾股定理，可惜刘徽原图失传，使得我们无法了解他的本意。
不过，比他稍早的三国孙吴数学家赵爽，却曾使用一个称做「弦图」的图形（见图十二）「证明」了勾股定理（见他注「周髀算经」时所写的「勾股圆方图注」（见图十三），其方法本质上也是出入相补（见图十四）。
另外，刘徽还应用出入相补证明直角三角形的最大内接正方形边长s，及内接圆直径d分别为 s=ab\\\/(a+b)；a=2ab\\\/(a+b+c)， 其中a、b、c分别为直角三角形的勾、股、弦三边，读者如想了解其证法，请参考拙文「刘徽与出入相补原理」，刊於科月11卷10期，此处限於篇幅，不再重复。
刘徽的出入相补在体积理论上表现得尤为出色。
除了证明楔的平截体（见图三(1)）的体积公式：「并上广而半之，以高（若深）乘之，又以袤乘之，即积尺。
」时，仍然运用「以盈补虚」外，其余概用出入相补。
在此，刘徽特别引用四种他称之为「棋」的基本立体模型，用来拚凑立体图形。
这四种棋分别是一、立方（包括正立方体、长方体）；二、堑堵（斜割立方得二个堑堵），体积为立方的1\\\/2；三、阳马（再斜割堑堵得阳马、臑各一），体积为立方的1\\\/3；四、臑，体积为立方的1\\\/6。
（见图十五）在证明方亭（台）的体积公式（见图三(4)）为h\\\/3(ab+a2+b2)时，刘徽先把方亭分割成中间1个立方，四面4个（全等的）堑堵，四角4个（全等的）阳马（见图十六），然后发现abh+a2h+b2h恰好使用了27个棋，其中3个立方，12个堑堵，12个阳马可以拚成3个（全等的）方亭，得证方亭体积为h\\\/3(ab+a2+b2)。
（详细论证请读者参考「刘徽与出入相补原理」一文。
）其他体积公式如羡除、刍甍、刍童等，也都是仿此而加以证明。
刘徽方法论最深刻之处，则是表现在求证阳马和臑的体积公式上。
他结合了出入相补和极限原理，证明由同一个长方体所分割出来的阳马和臑之体积比为2：1，从而得证阳马体积为1\\\/3abh，臑体积为1\\\/6abh。
仅凭出入相补原理，通常是办不到的，这也正是著名的希尔伯特二十三个问题中的第三个问题之症结所在。
这个问题可简述如下：「不可能只用到几何图形的全等公理来证明，同底等高的两个四面体的体积相等。
」比方，在空间中，以（0,0,0）、（1,0,0）、（0,1,0）及（0,0,1）为顶点的四面体，和以（0,0,0）、（1,0,0）、（0,1,0）及（0,1,1）为顶点的四面体（见图十七），就无法只运用出入相补或全等公理证明它们的体积相等（都是1\\\/6）。
由此可见，刘徽在这一方面的构想，不仅睿智，简直可以称得上先进了。
读者如想了解刘徽的论证方法，可参阅九章算术卷五第十五题刘徽注文（见图十八、十九、二十、二十一），及「刘徽与出入相补原理」一文。
接著，我们再来看看刘徽如何证明曲线形的面积、体积公式。
对於前者，刘徽采用逼近法；而对於后者，则采用祖氏（或卡瓦列利）原理。
「九章算术」所列二维曲线形共有圆形、弓形、球盖形及环形，其中圆形和环形面积公式完全正确。
刘徽所采用的一种逼近法——割圆术，实际并未能证明圆面积公式为正确，仅能求得圆周率π的近似值；也未能求出弓形的面积公式，这都是方法论不足所致。
而用方锥侧面积去逼近球盖形表面积，则更显得疏漏，能否解决此一问题，恐怕也大有疑问。
（参见「九章算术」卷一第三十四题刘徽注文） 相形之下，刘徽证明曲线形体积公式时，就灵巧多了。
「九章算术」内所列立体曲线形共有圆柱体、截顶圆锥体、圆锥体及球体。
其中在证明截顶圆锥体（圆亭）体积公式时，很明白地指出：「从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂，乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。
」也就是说（见图二十二）：截顶圆锥体积：截顶方锥（方亭）体积＝圆幂：方幂＝3：4，（注意此处取π=3），然后即可得证截顶圆锥体的体积了。
上述这个比例式就是祖氏原理的一种形式，刘徽还运用它证明了圆锥体的体积公式（见图二十三），可惜，更简易的圆柱体体积公式，他并未加以证明。
对於球体积公式，刘徽首先分析「九章算术」的构想（见图二十四）乃是由 圆柱体体积：外切立方体积=π(3)：4， 内切球体积：圆柱体体积=π(3)：4， 得（内切）球体积=9\\\/16×外切立方体积 =9\\\/16×(球直径)3 然后指出第二个比例式错了，所以连带地影响球体积公式的正确性。
刘徽最后指出正确的比例式应该是： 内切球体积：牟合方盖体积=π(3)：4 但是他算不出牟合方盖的体积，所以，只好「以俟能言者」，结果由祖冲之、祖父子解决了。
所谓牟合方盖，是指中轴线在中点垂直相交的两个全等圆柱体的交集（见图二十五）。
祖冲之父子应用祖氏原理：「夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。
」成功地求得 牟合方盖体积：外切立方体积＝2：3 但是外切立方体边长恰为球直径，因此， 【浏览原件】 其中r为球半径。
此一公式虽较古希腊阿基米德晚得到，但在数学史上明文写出祖氏原理的第一人，却是五世纪的祖冲之，而不是十六世纪的卡瓦列利（Cavalieri，1598～1647），因此，我们改称它为「祖氏原理」是恰当的。
祖氏父子可以说是解决了中国古代几何学的最后难题，隋唐之后，便无以为继了。
像前述王孝通和秦九韶的体积公式，都只是解方程式的附庸，并没有独立给出，其实「数学九章」中的面积公式又何尝不然
秦九韶在该书卷三「田域」章序文中说：「按此卷以方圆斜直幂积相求，即方田少广勾股诸法，而术中累乘累除，错综变换，与常法回。
然其本则出於立天元一法，今择其难解者，以立天元一法明之，皆不攻自破矣。
」给我们的印象乃是这些几何问题，仅仅是他造方程式的依据而已，它们的几何理论并不在考虑之内。
不过，即使纯以介绍几何公式的，水准也不高，甚至还有倒退的现象。
比方秦九韶使用近似值π=√10，对弓形面积的刘徽精密求法视若无睹，以及朱世杰在他的著作「算学启蒙」中，居然照抄「九章算术」的错误球体积公式，这些都足以说明宋元伟大数学家如秦九韶与朱世杰，根本无法在刘、祖二氏的基础上继续发展几何学，尽管他们在十三世纪创造了代数学的高峰。
从以上冗长的叙述，我们可以发现对几何学有贡献大概不出赵爽、刘徽与祖冲之父子等人。
而贡献最大的则是刘徽，他运用出入相补原理和极限原理，去贯穿面积和体积公式，可以说建立了一个堪称圆满的几何知识体系。
由於他在几何学上的成就后世无人能够超越，因此，他的方法论中的不足之处，也跟著没有人能够补足，这实在是中国数学史上的一大憾事。
然则刘徽的方法论中到底欠缺了什麼
显然是间接证法的逻辑和逼近法的精确概念，这两者使欧几里得得以把圆面积公式证明出来。
中国古代数学本体论（如果有的话）似乎对定性的结果不够重视，因此，对「形」的本质之探索也就缺乏强迫性的动机，而墨、名二家的逻辑未再进一步发展，似乎也无法提供足够的数学演证工具。
所有这些，都可能是刘徽无法挣脱「九章算术」格局，创造一个全新的著述体例之主要因素。
另外，由於刘徽的几何学未能形式化，所以当实用不能提供新的几何问题时，刘徽的理论当然也不足以衍生新问题，几何学遂被迫走上势微之途。
结语 正如其他古文明民族一样，古中国的几何学也是源自实用，但若论其风格，则并非全然实用，刘徽、祖冲之父子的成就即是很好的证明。
他们都是魏晋南北朝时代的人物，当时「个人」意识抬头，数学家不再纯为官僚用途服务，而对知识的探求有一股清新的爱好，因此乃能创造出几何学的全盛时期。
但是，由於本体论和方法论的不足，使得这一套几何学无法像「几何原本」一样，发展成为一种形式理论的典范。
所以，当中国古代数学的「定量」成果达到饱和时，便因为缺乏典范的导引，无法朝「定性」（形式化）的方向迈进，从而脱胎换骨成为近代型的理论。
十三世纪的中国代数学向上突破的瓶颈，或有可能就是这种本体论和方法论的匮乏所造成的。
谈谈中国古代的数学成就
九连环、七巧板、巧环,九宫格，鲁班锁等。
写一篇中国古代史的学习心得体会,600字
宋元数学总结 唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。
从公元十一世纪到十四世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是空前繁荣，硕果累累的全盛时期。
这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的（11世纪中叶），刘益的（12世纪中叶），的（1247），李冶的（1248）和（1259），杨辉的（1261）、（1262）和（1274-1275，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等等。
宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。
其中主要的工作有：（1）高次方程数值解法；（2）天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；（3）大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；（4）招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。
另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算的出现等等。
这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
